Algebraische Strukturen [Lecture notes] by Susanne Danz

April 3, 2017 | Science Mathematics | By admin | 0 Comments

By Susanne Danz

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Abelian Coverings of the Complex Projective Plane Branched Along Configurations of Real Lines

This paintings experiences abelian branched coverings of soft advanced projective surfaces from the topological perspective. Geometric information regarding the coverings (such because the first Betti numbers of a tender version or intersections of embedded curves) is expounded to topological and combinatorial information regarding the bottom house and department locus.

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Example text

Wir k¨onnen an = 0 = bm annehmen. Dann ist n+m k 0=f ·g = ai bk−i k=0 Xk . i=0 =:ck Insbesondere ist 0 = cn+m = an bm . Da R ein IB ist, muss dann aber an = 0 oder bm = 0 sein, Widerspruch. Folglich ist R[X] nullteilerfrei. Ist umgekehrt R[X] ein IB, so ist auch R ein IB, denn R ist ein unit¨arer Teilring von R[X]. 2, dass deg(f + g) max{deg(f ), deg(g)} und ¨ deg(f g) deg(f ) + deg(g) sein muss. Ist R ein IB, so zeigen die Uberlegungen im Beweis von Teil (a) auch, dass dann deg(f g) = deg(f ) + deg(g) ist.

Der Epimorphismus ν : R → R/I heißt der kanonische Epimorphismus von R auf R/I. Man schreibt auch I R. Achtung: Jedes Ideal eines Ringes ist auch ein Normalteiler der additiven Gruppe (R, +), aber nicht jeder Normalteiler von (R, +) ist ein Ideal von R. Man darf die Begriffe Ideal“ und Normal” ” teiler“ daher nicht verwechseln, auch wenn die Bezeichnungen a¨ hnlich sind. 6 Beispiele (a) F¨ur jeden Ring R sind {0R } und R Ideale von R. Ist R = {0R }, und sind {0R } und R die einzigen Ideale von R, so nennt man R einen einfachen Ring.

Iii) Jedes Element 0 = a ∈ R R× l¨asst sich als Produkt irreduzibler Elemente schreiben, und jedes irreduzible Element in R ist ein Primelement in R. Beweis. 14. (ii)⇒(iii): Mit (ii) ist auch die erste H¨alfte von (iii) erf¨ullt. Es seien p ∈ R irreduzibel und a, b ∈ R mit p | ab: Dann existiert ein c ∈ R mit ab = pc. Ist a = 0 oder b = 0, so ist p | a oder p | b. Ist a ∈ R× , so ist b = pca−1 und folglich p | b; ist b ∈ R× , so ist a = pcb−1 und folglich p | a. Wir k¨onnen daher ab jetzt a = 0 = b und a, b ∈ / R× annehmen.

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